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高等数学中的化归方法

作者【佚名】   来源【道义论文网】   发布时间【2018-07-09 13:23:46】   点击量【

  摘 要:化归方法是数学研究中最基本的思维方法之一。 本文分析了化归方法的思维结构, 并结合微积分学的相关内容, 对化归法逐一加以论述, 希望化归方法在高等数学教学中发挥重要作用。


  关键词:化归方法 微积分学 思维 问题


  数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学,它具有逻辑性、系统性、条理性和抽象性等特点。学生学习数学往往有一些客观困难。为了使学生能掌握数学解题方法,教师往往采取题海战术,增加了学生负担,耗时多,效果却不明显。若能在教学中渗透几种常见的数学思想,让学生掌握几种特殊的解题方法,将会取得事半功倍的效果。化归思想就是一种应用很广泛且灵活的数学思想,化归方法是数学研究中最基本的思维方法之一,其特点是灵活性、多样性、综合性,它要求人们要有较深厚扎实的数学的“悟性“。辞海称,化:改变、变化、高超也;归:趋向、归结 、返回也。所谓“化归”,就是转化和归结。数学思维方法中所论及的“ 化归方法”,就是通过变换,促使转化,将复杂的问题化归为较为简单的问题,将困难的问题化归为较为容易的问题,将求解的未知问题化归为可以解决的已知问题。著名數学家路莎-彼得在其有关数学思维方法的著作《无穷的玩艺》中指出:“数学家们往往不是对问题进行正面的攻击,而是不断的将它变形。直到把它转变成能够得到解决的问题。”在数学发展过程中,许多杰出的数学家从不同的角度,对化归方法做过精辟的分析和论述,其中笛卡尔在《指导思维的法则》一书中,将化归方法称为 “万能方法” 。在数学研究工作中,总是试图把高维的化为低维的,多元的化为一元的,高次的化为低次的,把几何问题化为代数问题,把积分方程化为微分方程等等。这些都是化归思维方法在起着主导作用。化归方法必须遵循简单化原则,熟悉化原则、具体化原则以及和谐化原则,于化归方法往往没有统一的模式,因此应当采取且必须采取具体问题具体分析的方法来解决。本文就微积分中涉及的相关问题,利用化归方法逐一讨论。


  一、恒等变形化归法


  这类化归方法旨在找到等价命题,力求在恒等变形中找到容易解决等价命题,以此来解决原来的问题。


  二、变量代换化归法


  变量代换的方法贯穿于微积分的始终,极限运算中有等价无穷小的代换,积分中有第一、第二换元法等,都是运用了变量代换化归法。


  三、构造化归法


  闭区间连续函数的零点定理的“构造性证明法”,微分中值定理证明中构造的辅助函数等,都是微积分学中,构造化归法这一经典思维方法运用的典型例子。构造化归法的巧妙之处是其他方法不能取代的,从下列例子中可以看出。


  例一:证明:当x>0时,ex>1+x


  直接证明难度非常大,因此需要把问题转化,故构造辅助函数f(x)=ex-1-x


  然后由函数的单调性的判别法证明该不等式。


  化归方法绝不止以上几种,还有复数法、向量法、参数法等,只是由于这些方法相对比较简单,在此就做赘述了。总之,在数学教学中要经常渗透一些数学思想和方法,引导学生变换角度思考、分析、解决问题, 带领学生集思广益,共同探求一个问题的不同解法和引申, 激励学生创造性地解决问题,培养学生思维的灵活性和广阔性,促进学生求异思维和创造性思维的发展。





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